2乗の平方根(ルート√)は、なぜ絶対値になるのか?

「2乗の平方根(ルート√)は絶対値となる」という結果を教えられて、なぜそうなるのか疑問に思う方も多いのではないでしょうか。

ここでは、なぜ2乗のルートが絶対値となるのかを考えたのちに、この性質を利用した問題を練習します。

(※なお、この内容は↓の動画でまとめていますので、合わせてご確認ください。)

目次

なぜ2乗のルートは絶対値となるのか?

まず最初に、ルートの性質を復習しておきましょう。

例えば、\(\sqrt{5}\)とは、\(2\)乗して\(5\)になる数のことでした。

では、\((\sqrt{x})^2\)はどうなるでしょうか?

上記のルートの定義に照らせば、\(2\)乗して\(x\)になる数を\(2\)回かけるため、

$$(\sqrt{x})^2=x ・・・①$$

となるのは受け入れやすいと思います。

では次に、今回の本題である\(\sqrt{x^2}\)を考えていきます。

多くの方が間違えてしまうのは、\((\sqrt{x})^2\)の時と混同してしまい

$$\sqrt{x^2}=x$$

としてしまう事です。なぜ、これは誤りなのでしょうか?

具体的な例を考えると分かりやすいため、ここではまず\(x=+3\)としてみましょう。

\(x=+3\)のとき

①式の左辺は

\begin{eqnarray}
\sqrt{x^2}&=&\sqrt{3^2}\\
&=&3
\end{eqnarray}

となりますよね。

①式の右辺は、当然ですが

$$x=3$$

となります。つまり、①式は(左辺)=(右辺)が成立しています。

次に、\(x=-3\)の場合を考えてみたいと思います。

\(x=-3\)のとき

①式の左辺は

\begin{eqnarray}
\sqrt{x^2}&=&\sqrt{(-3)^2}\\
&=&\sqrt{(-1×3)^2}\\
&=&\sqrt{(-1)^2×3^2}\\
&=&\sqrt{3^2}\\
&=&3\\
\end{eqnarray}

となり、\(x\)にマイナスを入れたとしても、プラスになりました。

一方で、①式の右辺は

$$x=-3$$

となるため、マイナスになっています。これでは、①式の(左辺)=(右辺)が成立しませんよね。

なぜこのようなことになるかというと、左辺の\(x\)に負の数を入れても、結果的に正の数を入れた時と同じになるからです。

この「負の数を入れた場合、符号を逆にして正の数にする」というのは、まさに絶対値の性質そのものですよね。

つまり、冒頭の「なぜ2乗のルートは絶対値になるのか?」という問いの答えは、結果的に2乗のルートと絶対値の性質が全く同じだから、と言えます。

ここまでのまとめ

ここまでの過程を通じて

$$\sqrt{x^2}=|x|$$

となることが理解できたと思います。

絶対値記号を外す場合は、「絶対値記号の中身が正(プラス)であればそのまま外に、中身が負(マイナス)であれば符号を逆にして出す」と考えることができました。

よって

$$\sqrt{x^2}=|x|=\left\{
\begin{array}\
x & (x \ge 0) \\
-x & (x < 0)
\end{array}
\right.
$$

となることを理解して頂けたのではないでしょうか。

2乗のルートは絶対値!」という言葉を繰り返して、身体に覚えこませてしまいましょう!

「2乗のルート=絶対値」の練習問題

最後に、具体的な問題で練習しておきましょう。この2乗のルートを含んだ問題は、大学入試試験にも頻出です。

【問題1】ルートの付かない形にせよ。

$$\sqrt{x^2y^2}\hspace{10pt}(x>0,y<0)$$

問題1の解答
\begin{eqnarray} \sqrt{x^2y^2}&=&\sqrt{(xy)^2}\\ &=&|xy|\\ &=&-xy\\ \end{eqnarray}x × yはマイナスであるため、絶対値を外す際にマイナスを付けて符号を逆転させています。

【問題2】ルートの付かない形にせよ。

$$\sqrt{x^2-2x+1}+\sqrt{x^2+6x+9}$$

問題2の解答
\begin{eqnarray} \sqrt{x^2-2x+1}+\sqrt{x^2+6x+9}&=&\sqrt{(x-1)^2}+\sqrt{(x+3)^2}\\ &=&|x-1|+|x+3|\\ \end{eqnarray}

(ⅰ)\(x<-3\)のとき

\begin{eqnarray} |x-1|+|x+3|&=&-(x-1)-(x+3)\\ &=&-2x-2\end{eqnarray}

(ⅱ)\(-3\le x<1\)のとき

\begin{eqnarray} |x-1|+|x+3|&=&-(x-1)+(x+3)\\ &=&4\end{eqnarray}

(ⅲ)\(1\le x\)のとき

\begin{eqnarray} |x-1|+|x+3|&=&(x-1)+(x+3)\\ &=&2x+2\end{eqnarray}

(※スマホ画面で解答の数式が途切れている場合は、横スクロールできます)

なお、絶対値の場合分けをする時としない時の見分け方については、次の記事でまとめていますので、合わせてご確認ください。

・絶対値の場合分けをする時としない時の見分け方

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